本文出自数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社）一书中，作者罗莫提出新猜想，所有整系数不可约多项式 f（x）（特指自变量用可穷分类参数替换仍不可约并发散）皆能表无穷素数，费马素数猜想，梅森素数猜想等几十个久未解决的难题，皆可归约到该猜想中，并借助于哥猜和孪猜获证（见澎湃新闻《希尔伯特第八问题有望终结：孪生素数猜想获证！》一文有介绍），作者巧妙地用类型函数通解必有两素数基底的思想证明了这一猜想亦成立。该猜想属于朗兰兹纲领的核心，故意义重大，此题获证等于推倒了数论问题中的群山，探寻到了能生成无穷素数的基底。

　　【摘要】在互素型哥德巴赫猜想获证的基础上可证明系列相关猜想，有多米诺骨牌效应。各种通项表达的素数是否无穷的猜想与互素型哥德巴赫猜想紧密关联，因哥德巴赫猜想成立，斋藤猜想和波利尼亚克猜想亦获证明。因此二次同余以及高次同余的模素数确实是无穷的，以下就是任意给定的整系数不可约多项式皆可表某类型无穷素数的纯数学文本证明。这里的不可约有严格定义，不可约多项式经参数方程等价替换后变可约的则不在此列，总之至少能表一奇素数的发散型多项式皆可表无穷素数。本命题是众多类型素数无穷性猜想的归约推广，一网打尽了几十个猜想，此问题获证体现了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的重要性。

　　【关键词】孪生素数；重合法；相邻论；差值；哥德巴赫猜想；波利尼亚克猜想；斋藤猜想；格林-陶哲轩定理；狄利克莱定理；邻函数；后继偶数；无穷无漏；龙头偶数；二次互反律；威尔逊定理；整系数不可约多项式

　　自从欧几里得证明素数有无穷个后，各种通项式表达的类型素数是否无穷的证明一直进展不大。跨越到19世纪，狄利克莱定理①出现，作为子集的类型素数具有无穷性的判定终于获得了解析数论的证明。然后直到 2004 年，陶哲轩②取得了素数数列可任意长（格林-陶哲轩定理）的证明突破。2013 年，张益唐③再次取得重大成果，有限间距7000 万内的素数有无穷组，意味着整系数用有限给定值的多项式可表无穷素数获得了部分纯数学证明。但尚未进入任意确定值，而本文则向重大进程站点迈进，任意给定的整系数不可约多项式④ f（x）皆可表无穷素数（仅指发散型有限项通项表达式，且至少能列举可表一奇素数的，而非无限项迭代表达式）。难啃的骨头，如孪生素数猜想、梅森素数猜想，在这里可一网打尽。

　　如果取 n=1，2，3，…，列出形如 n^2+1 的数，其中一些是素数，当然如果n是奇数，则 n^2+1 是偶数，所以它不是素数（除非 n=1）。实际上人们感兴趣的只是让n取偶数值，以上界定的 n^2+1 的数就是任意给定的整系数不可约多项式所表的素数：

　　看起来有相当一些是素数，但是，当n较大时你就会发现这种素数越来越稀少，所以我们问是否存在无穷多个形如n^2+1 的素数，迄今为止，国际数学共同体还没有找到对这个问题满意的答案。如上各种类型素数是否存在无穷的猜想很多很多，可列举一大片：

　　5. 斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…是否有无穷素数？

　　6. 卢克斯数列 1、3、4、7、11、18、29、47、76、123…是否有无穷素数？

　　16. 设整数a不是完全平方也不等于-1，是否有无穷多个素数 p，使得 a 是模p的原根？

　　以上各种类型素数具有无穷性的猜想，都是数论界的大问题，都可用整系数不可约多项式 f(x)表达，函数表达式是：

　　f（x）=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(不可约表示系数和指数给定后多项式不能分解，且等价变换参数后仍不能分解。本文下标的足码和上标的指数都用斜体数字和字母表示。)

　　以上所描述的任意类型素数，都是整系数不可约多项式的局部形式，当一般化推广的性质成立，局部的具体形式的性质也自然成立。该丢番图方程囊括了整系数不可约多项式方程，当方程右式不可约时即成立。那么如何判定一个整系数多项式不可约呢？

　　在高等代数中介绍了艾森思坦因（Eisenstein）判别法⑤，它是判别整系数多项式是否不可约的数学工具。但这个方法只描述了充分条件的一种情况，并不可替代必要条件的判断法。本文再介绍两个定理，使用它可以判断其他类型的整系数多项式是否可约。

　　定理 1：设 f(x)=a0+a1x+…+anx^n是一个整系数多项式，若 f(x) 没有有理根，并能找到一个素数 p，使得：

　　（3）a0不能被 p 整除，那么整系数多项式 f(x) 在有理数域上不可约。

　　证明：用反证法，若 f(x) 在有理数域上可约，则 f(x) 可以分解成 2 个次数都低于 f（x）的次数n的整系数多项式的乘积：

　　因为 a0能被 p 整除，p 是一个素数，所以 b0，c0不能同时被 p 整除；但 a0不能被 p2整除，所以 b0，c0不能同时被p整除；p不能整除 g（x）的所有系数，否则，与条件 (1) 矛盾。令 g(x) 中第一个被整除的系数是 bs，考察等式 as=bsc0+b(s-1)c1+…+b0cs，由于 k，ln-1，sn-1，as，b(s-1)，…，b0能被 p 整除，bs，c0中至少有一个能被 p 整除，显然矛盾，命题得证。

　　定理 2：设 f（x）=a0+a1x+…+anx^n是一个整系数多项式，若 f（x）没有有理根，并能找到一个素数 p，使得：

　　（3）an不能被 p^2整除，那么整系数多项式 f（x）在有理数域上不可约。

　　证明：用反证法，若 f（x）在有理数域上可约，则 f（x）可以分解成 2 个次数都低于 f（x）的次数 n 的整系数多项式的乘积：

　　因为 f（x）无有理数根，2 ≤ k，ln-1，因为 an能被 p 整除，但 an不能被 p2整除，而 cl 不能被 p 整除，不妨假定 bk能被 p 整除，而 cl不能同时被p 整除，p 不能整除 g（x）的所有系数，否则，与条件（1）矛盾。令 g（x）中第一个被整除的系数是 bs，由于 s ≤ kn-1，k2，所以 l+s ≥ 2，考察等式A(s+l)=bscl+b(s+l)c(l-1)+…+b(s+l)能被 p 整除，bs，cl中至少有一个能被 p 整除，这就与前面的假设相矛盾，命题得证。

　　以上说明任意一个整系数不可约的多项式都可以判定为是否可约。凡可约的整系数多项式一定都是合数，不存在素数，因此不作为可讨论是否存在素数无穷性的表达式。上文提到的16 个类型素数无穷性猜想，都是整系数多项式不可约的表达式。用艾森思坦因判别法和补充判别法皆可判定。这里从略。比如n^2+1 就是不可约的多项式，而 n^2-1 则可以分解为（n+1）（n-1），因此该整系数多项式表达显然不存在素数。

　　再比如f(x)=x(x+1)+2，咋一看属于整系数不可约多项式，但用可穷分类的参数替换下未知数，多项式立马能找到共因子，把x用参数替换分成两类整数，2t与2t+1，先代入2t得到，f(2t)=2t(2t+1)+2，这个数肯定有共因子2，再代入2t+1可得到，f(2t+1)=(2t+1)(2t+1+1)+2，这个数也肯定有共因子2，故f(x)=x(x+1)+2是假性的整系数不可约多项式，不在本文严格定义之列。

　　整系数不可约多项式是否都是素数呢？经验证不是这样，本来一个反例就足以推翻证明“任意给定的整系数不可约多项式 f（x）皆可表无穷素数”，但无法推翻反例之后的无穷域是否都是素数。因此需要一个数学证明，来说明整系数不可约多项式会无穷但不是无漏出现合数，以此来证明整系数不可约多项式不一定都是素数的正确性。

　　定理：素数不可无漏通项表达，不可用整系数多项式无漏表达，任意给定数之后延伸的无穷域亦同。

　　证明：用反证法证明。如果自变量自然数 n 一一映射的每个因变量都是素数，那么多项式常数 a0∈n，当n取 a0时，那么多项式必有因子 a0，当 a0不是素数，那么必定是合数，可分解出至少两个 p1和 p2，取 n= p1或 p2，那么整系数多项式就有了合数，当n 取 kp1或 kp2或 ka0时，多项式可获得无穷增大的合数，因此整系数多项式就可以通过自变量获得无穷个类型合数。这就与前面的假设凡自然数 n 一一映射的都是素数相矛盾，因此，素数不可无漏通项表达，不可用整系数多项式无漏表达，任意给定数以后延伸的无穷域都是如此的判定，也就得到了证明。

　　同理可证：类型素数不可无漏通项表达，不可用整系数多项式无漏表达。也就是说找不到一个通项公式可不停地仅生出类型素数，而没有其他合数。该判定可用反证法证明，如果类型素数可无漏通项表达，那么全体素数也可无漏通项表达，因为从所有类型到全体，也可无漏通项表达，这意味着所有的素数都可以通项表达，而事实上已经证明，所有素数是不可以通项表达的，这就反证出了，类型素数也没有通项表达式，只有各种分类的迭代表达式，其中能以一贯之的迭代式表达可看成P问题。素数分布能以自指初项周期升级再周期迭代的方式表达，就意味着素数求解问题是P问题，从这个意义上讲 NP=P。

　　既然整系数可约多项式表达不了无漏素数，又得知自然数n是一定能够用整系数多项式全部表达的，那么可表达素数的多项式就一定是整系数不可约多项式，又得知不可约多项式所表达的并非都是素数，因此一定是项数、系数、指数、常数有特别要求的整系数不可约多项式才能获得全部素数。

　　算术基本定理推论 1：合数加 1 或减 1，加 2 或减 2 不一定都能得到奇素数，但奇素数的确都是合数加 1 或减 1，加 2 或减 2 得到的。

　　证明：由于正整数分为合数、奇素数以及1和2。算术基本定理确定了，合数都是由奇素数因子以及2因子中的两个或两个以上之乘积组成的。又因为欧几里得已经证明了素数是无穷的，自然合数也就是无穷的，因此素数域与合数域都不能有限切断，素数与合数只能交替无穷延伸。大于 2 的正整数中，不是合数就是奇素数，因此奇素数与合数是相邻存在量，奇素数要么是与偶合数间隔为1的相邻数，要么是与奇合数间隔为2的相邻数，因此整系数不可约多项式可表达无穷个素数：

　　当项数、系数、指数、常数为确定值时，整系数不可约多项式（特指发散型和参数替换亦不可约型）可否表达无穷个素数？各类无穷性素数的证明可否一网打尽？已知素数减1都是 偶 数， 而 偶 数 都 是 合 数， 故 可 以 用 mn 来 表 示：pn=mp(n+1)。还得知有哥德巴赫猜想表达式 pn+pm=2n，前者用 n 所对应的素数来确定 m，后者用 n 所对应的合数来确定p。当项数、系数、指数、常数确定为有限值时，可将模数项等值置换移项合并，无穷素数的原根将依然存在。

　　定理 1：当不可约整系数多项式 f（x）=a0+a1x+…+anx^n任意取项数、系数、指数、常数为确定值时，自变量 x 为自然数定义域的不可约多项式 f（x）仍可表无穷素数。

　　证明：用反证法。当项数、系数、指数、常数为非确定值时，整系数不可约多项式可表无穷个素数，前文已经证明，并且也证明了同时可表无穷个合数。

　　以下进一步证明，现假设当项数、系数、指数、常数任意取确定值时，整系数不可约多项式不可表无穷素数，即多项式所确定的素数当超过一定的数值时，不再出现素数。

　　即当 f（x）=a0+a1x+…+anx^n≥ h（h 为一确定的有限值，项数、指数、系数、常数也为给定值时），f（x）不含素数，f（x）为单调上升函数，自变量 x 取对应 h的值是 Xh。当 x ≥ Xh后，不能映射任何素数。但 a0+a1x+…+anx^n仍为整系数不可约多项式，会随 x 的无限增大而无限趋大。当产生的合数足够大时，有限域内的素数在有限次运算内能不能产生它，这是显而易见的。一旦确定值的整系数不可约多项式都得不到大于 h 的素数时，就意味着各类无穷素数都不能产生，因此矛盾。另外也与素数全集是无穷的相矛盾，因此确定值条件下的整系数不可约多项式不能产生无穷素数是不成立的。

　　事实上根据鸽笼原理⑥，不确定值整系数不可约多项式是可以产生无穷素数的，可等价于：确定值有限分类进行无限集结的整系数不可约多项式，是可以产生无穷素数的。因为有限类笼子承接无穷性对象，至少必有一个笼子需要承接无穷性对象，因此确定值整系数不可约多项式就意味着一定能表示无穷素数的子集。

　　因为 p1-p2=2n（已经获证的斋藤猜想）(见澎湃新闻《希尔伯特第八问题有望终结：孪生素数猜想获证！》)，这是可确定的，因为素数有无穷个，2n 为大偶数，无穷递增素数 f（x）=a0+a1x+…+anx^n= p2+2n，2n 是可确定的各种大偶数，p2是可确定的小素数，因此无穷递增素数就可以用可确定的整系数不可约多项式表达，这就意味着各种可确定的有限域整系数不可约多项式联合起来表达了所有无穷素数。由于有限域系数是有限的，可联合的个数就是有限的，可见无穷素数可以不靠联合个数的无穷性获得，靠素数本身的无穷性变量获得，那么一定至少是有限类的某单个表达式可获得无穷个素数。根据鸽笼原理，无穷个素数要放进有限个笼子，必须至少有一个笼子要接收无穷个素数，因此至少有一个可确定的整系数不可约多项式就一定能表达无穷个素数。

　　我们还知道，任何通项式经过或加 1 或减 1 或加 2 或减 2 形成不可分解多项式都可以获得新素数，且能无穷获得新素数。但任何通项式经过或加1或减1或加2或减2所形成的多项式都不能得到全部素数，素数全集是不可通项表达的。这是把孪生素数猜想、梅森素数猜想变为一般化的猜想表达，更具有囊括性，这个推广可做如下表达。

　　f（x）不能得到全部奇素数，因此用素数值域为自变量求反函数的值域就不能得到自然数全集，因此自然数不可用素数进行全部表达。自然数可以用素数为自变量进行相邻迭代式表达：

　　整系数多项式 f（x）取给定项数、系数、指数、常数时，值域只能随着自变量的增大而增大，通过素数值域用反函数求自然数定义域，为什么可以用相邻迭代求解，是因为用松散态的素数求紧致态的自然数，每次需要用自然数值域来确定素数的序列位置，从而才能确保用该类素数找到所有的自然数。素数不能完全用自然数为自变量进行通项式表达，素数可以用自然数为自变量进行相邻迭代式表达：

　　f（x，y）= 2n（x 和 y 为不可等量分割的正整数，可进行共轭差非 0 分割），这是一个二元表示的非通项式，也不能用换元法直接置换成一元表示的通项式，x 要通过计算出来的值域来求解值域的新增邻域，因此整个过程是相邻迭代进行的。

　　自然数某类无穷子集可用自然数或素数为自变量进行通项式表达，素数某类无穷子集可用自然数或素数为自变量进行通项式表达：

　　第 1 式 f（x）直接可表素数；第 2 式 kf（x）是偶合数值，通过加减 1 可得素数；第 3 式 kf（x）是奇合数，通过加减 2 可得素数。

　　以上三类表达囊括了所有素数。但以上 3 类素数都分别可表无穷子集素数。证明很简单，后两个是前一个的推论，当项数、系数、指数、常数确定时：1式不能获得素数的，2式可以；2式还不可以获得素数的，3式可以；3式都不可以获得素数的，定是隐性可约多项式，不在讨论范围。因此确定值的整系数多项式以上三项分别一定可以获得无穷素数子集。2

　　式、3 式的相邻表达仍在整系数不可约多项式的表达式范畴，与全部合在一起可表达无穷无漏素数不矛盾。但项数、指数、系数、常数一经确定，就只能表达素数子集，那么该素数子集是否具有无穷性呢？可用反证法来确定，如果任何一式表达是有穷的，那么其他两式表达也将是有穷的，那么将无法囊括所有无穷素数，因此必须是子集无穷，只要一式是子集无穷的，那么其他两式表达也是子集无穷的。

　　仍然可以通过鸽笼原理证明这一点，每个确定的整系数不可约多项式所表达的素数子集都不是密集无穷的，因此除去这个素数子集，还有无穷素数，其他确定的整系数不可约表达式就一定存在无穷素数表达式，并且有一个确定的整系数不可约表达式若不成立，则所有整系数不可约多项式都不能表达全部无穷素数。

　　以上就证明了，当不可约整系数多项式 f（x）=a0+a1x+…+anx^n任意取项数、系数、指数、常数为确定值时，自变量 x 为自然数定义域的不可约多项式 f（x）皆可表无穷素数全集中的某一个无穷素数子集，当然不可连续密集表达，其间表达式会相应包含某一无穷合数子集，例如，梅森数就包含无穷梅森素数和无穷普通梅森数。

　　以上判定看似比孪生素数猜想更广义，更一般化，其实它是孪生素数猜想以及斋藤猜想成立后的推论，这是不是有点反直觉？正如波利尼亚克猜想⑦也是孪生素数猜想的推论一样，以上判定同样是孪生素数猜想的推论。孪生素数猜想成立，故差值为2n的素数对是无穷的也就成立。在哥德巴赫猜想成立的基础上得到“素数对差值的差值”公式，据此再根据递归原理求证。因为有哥德巴赫猜想两素数定理 p1+p2=2n，还因为相邻偶数的差值等于2，所以有（p3+p4）-（p1+p2）=2，代数变换可得到，（p3-p1）-（p2-p4）=2，因此我们得到素数对差值的差值等于2的判定公式，在此基础上就可以进行递归推理了。

　　已知差值等于大偶数 2N 的素数对存在无穷组，那么可得知与之匹配的素数对也有无穷组。

　　当（p3-p1）=4 时，可递归得到（p2-p4）=2。而此时的无穷素数对（p2-p4）就是孪生素数，至此，孪生素数的无穷性就得到了证明。之所以差值等于大偶数2N 的素数对存在无穷组，是因为差值等于2的孪生素数对存在无穷组。若不在哥德巴赫猜想成立的条件下，差值 2N成立，推导不了差值2成立，但差值2成立，即可直接推导差值 2N成立。因为根据皮亚诺公理，所有的偶数都是差值为2的后继数的后继数，2N即在其列，加上多项式可表达所有的偶数：

　　因为素数是无穷的，是可以用所有整系数不可约多项式表达的，而所有的整系数不可约多项式都可以在无穷素数对的基础上进行替换表达，任意给定的无穷素数与孪生素数对都有固定差值，这样与孪生素数建立可确定系数关系的素数自然也就具有了无穷对。大偶数2N成立，不能直接推导2n 成立，小偶数2成立，却能直接推导2n 成立。即斋藤猜想成立，由斋藤猜想成立，可以反过来推导哥德巴赫猜想成立。因此孪生素数猜想与哥德巴赫猜想是等价命题。间隔大偶数2N的弱孪猜成立，不如间隔小偶数2的强孪猜成立的势更强，这些貌似不符常识的反直觉命题往往具有极高的价值。

　　既然差值2n的素数对是无穷的，那么就可用素数为自变量构造出任意通项式表达，即可确定值的整系数不可约多项式表达。用差值2进行切割和连接可以得到所有偶数，波利尼亚克猜想正是这样证明的，于是差值2n的无穷素数对就获得了证明，其中2n通过除以2可还原获得所有自然数，于是素数无穷子集都可以在任意差值中找到对应通项式。上文出现的2 式、3式其实就是孪生素数猜想的另类表达，p=kf（x）±1=k（a0+a1x+…+anx^n）±1可获得其他素数，就是孪生素数定理的体现，前面单独出现的时候，还没有发现它有孪生素数思想的意义，一经结合给定值的不可约整系数多项式，就立马可见它是孪生思想任意给定的整系数不可约多项式 f（x）皆可表无穷素数的判定和逻辑源头。 f（x）=p-2，多项式f（x）一定是两素数的线性算子的映射。如果f（x）-2≠p-2，则f（x）也不能通项表达其它类型整数。没有类型素数基底，便没有类型整数。这与所有整系数不可约多项式可表所有整数矛盾，故f（x）是可表无穷素数的。可见孪猜很重要。

　　孪猜证明的核心是这样的，f（x）素数猜想的证明也是如此。假如间隔为定值的素数对是仅有限个的，素数数列的组间隔就是有限个的，后面不再有该定值的素数数列（含素数对），也不会有间隔为不定值的其它素数对，因为新增间隔为不定值的素数对需要新增间隔为定值的素数对为前提，否则相邻素数之比会超过2，违背素数定理，也会同伯特兰-切比雪夫定理相矛盾。这就意味着要么没有新增素数数列，会同欧几里德素数有无穷多个的定理相矛盾，要么有一个贯穿到底的新增素数数列，会同素数数列是有限长的定理相矛盾。素数数列是有限长的定理很容易证明，当素数数列的项数含初项素数因子，该延申项就不再是素数，素数数列就中断了，而自然数n的延申是含任意素数的，故素数数列定是有限长的，还可依次证明，素数是没有通项公式的。基于以上三条路径都会矛盾，故可归谬得出间隔为定值2w的素数对必有无限组。加上斋藤猜想获证，可推出素数的差值的差值必有匹配对恒等于2的判定成立：（p3+p4）-（p1+p2）=2，即给定差值较大的素数对有无穷组，则给定差值较小的素数对也必有无穷组，两者的差恒等于2。假如没有，两素数之差就不能表达无穷无漏偶数，就会与斋藤猜想矛盾。如此就可推出间隔2w-2的素数对也必有无穷组，如此就递推出间隔2的素数对必有无穷组。

　　于是可证明波利尼亚克猜想成立，表明间隔2n的素数对皆有无穷组，这个结论同样可用来证明“整系数不可约多项式可表无穷素数”，因为多项式的每次相邻间隔必小于或等于2n，于是在必有素数项的基础上，不可约多项式必蕴含无穷等差数列组，也必蕴含无穷非等差数列组，因为根据获证的波利尼亚克猜想，可知任意给定差值2n的素数数列组必有无穷组，再根据素数的差值的差值等于2n的性质，就可判定波利尼亚克猜想的各种代数变形表达也成立，即各种非等差通项表达2n的素数对都有无穷组。

　　也就是说各种等差函数都可表无穷素数，那么各种不等差函数也能表无穷素数。当然收敛型的肯定不能，而发散型的不等差函数呢，会与等差型的函数不断有交集，比如2n会与2^k不断有交集，都能无穷表达素数。其核心证明如下：

　　假如发散型的且严格不可约型的整系数多项式f（x）不能表无穷素数，即f（x）-q≠p-q，q是f(x)的常数项中的奇素因子，p是奇素数，说明f（x）-q不存在二元素数基底，于是可表无穷素数给定类型的f（x）就不存在，其它类型的也必同理不存在，这就与非一次型多项式必能表无穷素数矛盾。我们知道一次型多项式是能表无穷素数的，由波利尼亚克猜想可判定，非一次型多项式的集合也是可表无穷素数的，同样由波利尼亚克猜想可判定。非一次型多项式中的可约类的可排除，非一次型多项式经参数替换后变可约类的也可排除，非一次型多项式收敛类的也可排除，剩下的就是发散型的且严格不可约型的整系数多项式f（x），其全集是可表无穷素数的，如果每次给定的整系数不可约多项式不能表无穷素数，那所有给定的整系数不可约多项式都不能表无穷素数，因为都不存在两素数基底，于是可判定发散型的且严格不可约型的整系数多项式f（x）定能表无穷素数。类型函数的所有通解必有两素数基底，是这一深刻的数学思想证明了该猜想。欲详细了解该定理的证明可通看作者罗莫的数论专著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社），网文了解可阅读澎湃新闻发布的《希尔伯特第八问题有望终结：哥德巴赫猜想获证！》及相关文章。

　　朗兰兹纲领的最高精神就是将一些表面看起来不相干的内容建立起本质联系。也就是我们数学命题的等价转换。为什么会存在这种普遍的可等价转换？为何自然数规律是一切等价转换的枢纽？等量以及对称关系的源头来自哪里？

　　其他介绍朗兰兹纲领的都是基本引理，这个才是核心纲领。朗兰兹纲领的根源既然追溯到了二次互反律，我们就说说二次互反律的根源又来自哪里，为何有序相邻是数学思想的核心。

　　以下就通过分析梅森素数和阿廷猜想等来察觉其内在机理和数感。梅森素数表达式当然属于丢番图多项式之一，既然不可约的丢番图多项式都可表无穷素数，梅森素数当然也不例外，因为差值2n的素数对都是无穷的。差值2n的奇数对虽然也是无穷的，但包含素数中的一个无穷子集。同样无穷奇数包含差值 2^p2-2^p1的无穷梅森数，如果无穷梅森数仅仅包含有穷梅森素数，将导致很多新的梅森数无法产生。两个梅森素数之间的差值等于 2^p2-2^p1。可以看出 2^p2-2^p1 是一个越来越大的间隔偶数，只不过这个偶数是变化的，不是一个常数，不是等差数列所构成的数列组。但是就算变化，也全都在2n的偶数集中，是无穷项确定的数列。以下来分析证明关键。

　　偶数与奇数的相邻差值为1，合数与奇数的相邻差值有时为1，有时为2。根据洛书定理可变换推理得到，偶数可表示为 2^p-2k（p为素数，2k为偶数，它与2a+2^n 是等价表达），再根据哥德巴赫猜想两素数原理，偶数集2^p-2k 可变换为 2^p-1+p（当p为素数时）或 2^p-1+t（当 2^p-1 不是素数，t 为奇合数时）。

　　由此表达式可知，当2k的相邻数为素数时，一定存在素数可以用 2^p-1 表示；当 2k 的相邻数为奇合数时，也一定存在奇合数可以用 2^p-1 表示。k 任意足够大时，仍一直存在 2k的相邻数或为奇数或为素数。若2k为有限数，大于 2k 的偶数，其相邻数不可能永远都是奇合数，当中定有素数，因此就会对应得到2^p-1 为梅森素数。任意设置给定数，都能找到大于 2k 的偶数，其相邻数不可能永远都是奇合数，当中定有素数。因为自然数的延伸，素数是无穷的，奇合数也是无穷的，它们交替重复出现，新素数会筛选掉合数，当新素数不增长时，筛选合数的能力会到尽头或者有漏项，此时必须新增素数，否则自然数不能密集延伸。一旦有了新增素数，构造合数的能力随即加强，于是合数又不断出现，直到组合出现尽头，又有新素数出现。这是对整系数不可约多项式可表无穷素数的上式抽象证明之直观解释。其中相邻关系的差值起到了决定性作用。数论思想的核心就是相邻关系的有序辨别。

　　欧几里得已经证明了素数与奇合数、偶合数会无穷交替延伸。而梅森数正是奇数的其中一个无穷子集，里头的素数与奇合数也同样是反复交替出现的。2^p-1+p（当 p 为素数时）或 2^p-1+t（当 t 为奇合数时），可得到偶数全集。根据假设得知，大于给定数的（2^p-1）都是奇合数，故一定能分解。因为 t 为奇合数，还因为这里的密集 t 是 2n-（2^p-1）所得到，所以这里的2^p-1 也是奇合数；因为 p 为素数，还因为这里的密集 p 是 2n-（2^p-1）所得到，所以这里的2^p-1 也为素数。

　　当偶数是 2^p-1 的 2 倍时，要得到密集素数时，须 2^p-1 获得 p 因子，要获得密集奇合数时，须 2^t-1 获得 t 因子。否则偶数集就是有漏的。因此既然要获得无漏的偶数集合，就定要选择 2^p-1+p，且 2^p-1= p，才会无漏。这就与大于给定数的（2^p-1）都是奇合数相矛盾。可见假设大于给定数的（2^p-1）都是奇合数就是错误的，必须允许梅森数反复出现梅森素数，因为无论该给定数设置多大，都会出现这样的逻辑悖论，因此梅森素数必须是无穷的。

　　当年欧几里得证明素数无穷性的方法，同样可以用于证明各种通项表达的特殊类素数的无穷性判定。欧几里得是通过素数若有穷，则可以构造一个新数，无法用所有的有穷素数整除，从而反证出这个新数一定是素数，以此说明素数是无穷的。其实哥德尔不完备定理的证明也是这样的套路。同样，各种通项表达的特殊类素数若有限，则可以同样构造一个用该通项

　　表达的特殊类新数，无法用所有的有穷素数整除，或无法用所有的无穷但有漏素数整除，从而反证出这个新数一定是素数，以此说明该类素数是无穷无漏的。

　　新梅森素数猜想就是该类猜想的一个推广，也叫阿廷猜想。这个猜想同二次互反律相关，因此阿廷猜想也是二次互反律的推广，对于任意不等于1、p-1及完全平方的正整数 a，必存在无穷多个素数 p，以a为原根。这一猜想被称为阿廷猜想，至今尚未解决。而朗兰兹纲领就是以阿廷猜想为起点的进一步推广。因此阿廷猜想极为重要，新梅森素数猜想是这样表达的：对于任何奇自然数p，若以下其中两句叙述成立，剩下的一句就会成立：

　　1. p=（2k）±1 或 p=（4k）±3 是无穷质数（含阿廷猜想）；

　　这三句判断，第二句是梅森素数猜想，前文已完成证明。第三句是瓦格斯塔夫素数猜想，证明该猜想与证明梅森素数猜想一样，分两步骤来完成。

　　首先是 [（2^p）+1]/3 不都是质数，不存在可通项表达的无穷素数，这个结论由素数的定义决定。假如素数可通项表达，通过自然数n，就可以获得素数 pn；那么 通过自然数 n+1，就可以获得素数 p(n+1)； 而 相邻素数之差可为任意 2n；但通项式在自变量增1的情况下无法获得差值 2n 偶数全集；因为通项式由定义域获得值域的每次构造部件都是有限的；否则就不是通项表达式；而一旦构造部件有限的线组合，因变量就无法产生任意差值2n，从而反证出素数无通项公式可表达。但不能因为出现反例，就得出该类素数不存在无穷性。

　　其次，任何无穷发散且余数为2、值域为奇数的通项表达式，都包含无穷素数。该判定乃是朗兰兹纲领的核心，它是孪生素数、梅森素数、费马素数、欧拉素数、高斯二次互反素数、瓦格斯塔夫素数、阿廷素数的一般化推广。

　　所有的通项式表达，都可以转换为二进制的通项式表达。这也就是为什么阿廷猜想被朗兰兹纲领作为起点进行一般化推广的原因。由孪生素数猜想、斋藤猜想以及波利尼亚克猜想获证可得知，差值2n的素数对有无穷组，从这个判定出发，可以得到两个重要结论，一是差值 2n的素数对有无穷组，二是作为素数对的偶数差值可无穷大。由此可推理出任何无穷发散且余数为2、值域为奇数的通项表达式都包含无穷素数。即：

　　以上为素数函数通项式值域中相邻因变量的差值数列，它们的每一项都属于偶数集，假如 f（n）项为素数，f（n）不再有素数，那么将出现以下数学矛盾。

　　一是 f（n+k）- f（n）的差值为 2n：若 f（n）没有后继素数存在，相邻因变量的差值 2n 就不存在；

　　因此必有 f（n+k）是素数。一旦 f（n+k）是素数，那么必有 f（n+k+t）- f（n+k）的差值为 2n，同样：

　　因此必有f（n+k+t）是素数。如此无限延伸，“无穷发散且余数为2，值域为奇数的通项表达式必存在无穷素数”的判定，就可以得到证明。

　　由此可以看出，波利尼亚克猜想比阿廷猜想更加本质，是阿廷猜想的一般化推广，是朗兰兹纲领的核心。而波利尼亚克猜想又以孪生素数猜想为核心，不等于2的任何素数对差值都不是孪生素数差值，因而跟孪生素数猜想无直接关联。所谓逼近的说法，只会产生误导，因为它不能成为逻辑演绎的强势前提命题，但它不是没有意义，它将成为归谬证明的参照系。孪生素数序与孪生素数对的迭代无漏相邻表达式乃是核心中的核心。一切数学皆由此展开。同样，素数的整系数不可约多项式表达可表无穷类型素数既然成立，也可以反推出孪生素数有无穷对是成立的。

　　证明分两步走。首先，欧几里得已经证明了素数是无穷的；然后，在素数的基础上构建整系数不可约多项式表达p+2，由于该多项式符合整系数不可约多项式，根据已经证明了的结论，该表达式可表无穷类型素数，故p+2 存在无穷个素数，既然 p+2 是无穷的，p当然也是无穷的，所以 p和 p+2 存在无穷对也就是成立的。孪生素数猜想得证。

　　以上分析不难发现，任意给定的整系数不可约多项式皆可表无穷素数，说明了一切可等价转换都可以通过自然数的规律枢纽（即任何通项表达都有两素数基底）来实现，这无疑是朗兰兹纲领的最利好消息。而1又是自然数的枢纽，自然数通过相邻差值1而获得全集，皮亚诺公理体系最核心的思想在此，这也是整个数论体系的中心，作者在本书中所完成的所有证明，几乎都是围绕着重合法和相邻论而展开的。如果有人要问有什么需要特别强调的，那就是“相邻论”。圣人曰“德不孤，必有邻”“一即一切，一切即一”。数学要做的就是关乎“1”的不断觉醒，舍此无他。（文/罗莫）

　　[1] 曹珍富 . 丢番图方程引论 [M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

　　[4] 居余马，胡金德，林翠琴，等 . 线 版 [M]. 北京：清华大学出版社，2011.

　　①狄利克莱定理。1837 年狄利克莱（Dirichlet）证明了：假如（a，d）=1，则形如 a+dn（n 为自然数）的素数有无穷多个。这就是著名的狄利克莱算术级素数定理。

　　②陶哲轩。2004 年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。他们将长达50页的论文《素数含有任意长度的等差数列》张贴在当日的预印本网站上，并向《美国数学年鉴》（Annals of Mathematics）投稿。2006 年陶哲轩因该文而获得菲尔茨奖。

　　③张益唐，华人数学家。1978 年考入北京大学数学系，1982 年本科毕业；1982—1985 年，师从著名数学家、北京大学潘承彪教授攻读硕士学位；1992 年毕业于美国普渡大学，获博士学位；目前在美国新罕布什尔大学任教。2013 年5 月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。荣获 2014 年科尔数论奖。

　　④不可约多项式。整系数多项式的集合构成一个唯一因子分解整环。可以定义两个整系数多项式的最大公因子和最小公倍元。

　　如果存在素数 p，使得 p 不整除 an，但整除其他 ai，i=0，1，…，n-1；p2不整除 a0， 那么 f（x）在有理数域上是不可约的。

　　⑥鸽笼原理（抽屉原理）。“如果有 5 个鸽子笼，养鸽人养了 6 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 2 只鸽子。”这个简单的事实就是著名的鸽笼原理，在我们国家更多地被称为抽屉原理。

　　⑦波利尼亚克猜想：对所有自然数 k，存在无穷多个素数对（p，p+2k）。（1849 年，由法国数学家阿尔方 • 波利尼亚克提出）

　　⑧朗兰兹纲领。朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克莱 L- 函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。朗兰兹为这些自守表示配上 L- 函数，然后猜想：互反猜想，每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷 L- 函数，都相等于某一来自自守尖点表示的 L- 函数。若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依 - 德利涅群。在可交换的例子中，这相当于将狄利克莱特征推广为赫克特征（德文旧称 Grencharakter）。互反猜想蕴含阿廷猜想。

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